OVI: “Los números naturales y las redes sociales”

 ¿Cuántas veces te has preguntado el número de "me gusta" que tienen tus fotos de Facebook? 

O quizás, ¿Quién de mis amigos tiene más seguidores en su Instagran?

Si bien es cierto que son preguntas muy comunes, también podemos decir que tales preguntas implican abordar un tema apasionante de las matemáticas, los NUMEROS NATURALES.

¿Qué son los números naturales?

Para negociar y ordenar cosas, el hombre tuvo la necesidad de representar las cantidades de lo que tenía para saber con qué contaba exactamente. De ahí surgió la necesidad de crear símbolos que representaran esas cantidades.

Por ejemplo, si alguien sabía cuántas gallinas tenía, podría establecer del mismo modo la cantidad de días que podría alimentar a su familia.

A partir de esta necesidad el hombre crea lo que hoy conocemos como números naturales. Estos son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones debido a que contar y ordenar elementos son las tareas más elementales en el tratamiento de las cantidades.

Los números naturales son aquellos símbolos que nos permiten representar la cantidad de elementos que tiene un conjunto.

Debido a la importancia de este conjunto de números se creó un símbolo especial para identificarlo, usaremos la letra  para representar el conjunto de los números naturales; así, cuando veas esta  en un libro de matemáticas, o en alguna clase, sabrás a qué se refiere.

¿Te has preguntado cuál es el último número natural?  No hay, sencillamente no existe un número natural que sea más grande que todos los demás, cada vez que pienses en uno, podrás encontrar muchos que sean mayores que él.  Como no terminan nunca, decimos que  es un conjunto infinito.

Algunas propiedades del conjunto de los números naturales

Los números naturales poseen propiedades únicas que los diferencian de los demás conjuntos numéricos, te invitamos a conocerlas.

Operaciones en el conjunto de los números naturales

Los números naturales son aquellos que nos permiten contar los elementos de un determinado conjunto.  Gracias a esto, cuando realizamos operaciones con ellos, los resultados pueden ser o no números naturales.

Si sumamos dos números naturales, el resultado siempre será otro número natural.  Lo mismo ocurre cuando multiplicamos, pero cuando restamos dos números naturales el resultado no siempre será otro número natural, lo mismo ocurre con la división.

Por ejemplo, intenta restar  menos ,  ¿crees que es posible representar el resultado de esta operación con algún número natural?  Debido a lo anterior consideramos sobre el conjunto de los números naturales solo dos operaciones: la suma y la multiplicación.  Si quieres aprender más sobre ellas visita nuestros cursos Suma y Multiplicación.

El primer natural

Como hemos dicho que los naturales son los números sirven para representar la cantidad de elementos que tiene un determinado conjunto, tomaremos el conjunto de los naturales o  a partir del , pues este número representa la cantidad de elementos que tiene el conjunto vacío.

Más adelante verás que no todos los conjuntos tienen un primer elemento.  Esta propiedad es una de las más importantes del conjunto de los números naturales.

El sucesor de un número natural

Otra propiedad importante de este conjunto de números es que cada uno de sus elementos tiene un sucesor.  Es decir, si tomamos como referencia determinado número natural, podemos saber cual es el siguiente y tener la certeza que entre el número y su siguiente no habrá ningún otro.  Este número es llamado sucesor.  Si por ejemplo tomamos como referencia el , sabemos su sucesor será el  y entre estos dos números no encontraremos ningún otro.  ¡Aunque te parezca increíble no todos los conjuntos numéricos cumplen esta sencilla propiedad!

Orden de los números naturales

En su función de representar cantidades, existen unos números naturales que representan más que otros.  Decimos entonces que hay números naturales mayores o menores que otros, esta relación es llamada orden.

Para representar que un número es mayor que otro usaremos el símbolo “mayor que”: , de la siguiente manera: ubicamos el número mayor  al lado abierto del símbolo , el menor lo ubicamos al otro lado.

Tomemos como ejemplo el  y el . Sabemos desde nuestra infancia que el  representa una mayor cantidad de elementos que el .  Debemos escribir por lo tanto .  Esta expresión debe ser leída como “cinco es mayor que tres”.

También usamos el símbolo , que es leído como “menor que”.  Podemos entonces representar la relación  así:  que debe ser leída como “tres es menor que cinco”.  Una forma práctica de recordar cómo escribir estas relaciones es recordar una pequeña historia:  al comienzo, el pez grande siempre iba en persecución de los pequeños...  Pero los peces pequeños se unieron y ahora todos juntos van al acecho del pez grande.  Por esta razón la boca del signo  siempre va dirigida al pez más grande:

Podemos unir varias relaciones de mayor y menor de la siguiente manera: sabemos que  y .  Podemos escribir  expresando no solamente las dos relaciones anteriores, además se da a entender que .

¿Qué son los números enteros?

Aunque los números naturales nos permiten representar cantidades, también tienen sus limitaciones.  ¿Cómo representarías una deuda? Para esto usamos los números enteros.

Imagina la siguiente situación: tres niños se reúnen y deciden agrupar todas sus canicas (esferas de cristal para jugar).  Como son un poco tímidos deciden hacer sus aportes en secreto, así que cada vez que uno vaya a poner sus canicas los otros deben cerrar sus ojos.  El primer niño pone  canicas sobre la mesa.  Luego cierran sus ojos y un segundo niño pone sus canicas, cuando cuentan todas las canicas observan que ahora hay .  Después, vuelven a cerrar los ojos y el último niño decide jugarle una broma a sus amigos.  Cuentan el total de canicas y encuentran que ahora hay .  Vamos a ver cuáles fueron los aportes de los tres niños.  Podemos representar el aporte del primer niño con el número natural , para representar el aporte del segundo niño podemos usar el número natural , pero ¿con qué número natural podrías representar el aporte del tercer niño?

Sencillamente no existe ningún número natural que permita representar esta situación,  es por eso que se originó el conjunto de los números enteros.  Podemos considerar que el tercer niño hizo un aporte negativo, es decir, que no está sumando sino restando al total de canicas.

Diremos que el conjunto de los números enteros es igual al de los números naturales unido con sus negativos.  Usaremos el símbolo  para representar dicho conjunto:

Continuando con nuestro ejemplo de los niños y las canicas.  Podemos usar los números enteros para representar el aporte del tercer niño.  Sabemos que sustrajo  canicas, representamos su aporte con el número entero .  Para que te hagas una idea, piensa en las cantidades negativas como la representación de una deuda.  Si debes  lápices a un amigo, ¿con qué número representas la cantidad de lápices que tienes?  Con el número entero .

Pero... ¿por qué no aparece el número  en el conjunto de los números enteros?  No es necesario escribir el  ya que deber  es lo mismo que no deber nada o adicionar nada, es decir: .  Por esta razón solo escribimos 

Fíjate que con los nuevos símbolos que hemos agregado al conjunto de los números naturales, podemos representar cosas que antes no, esta es nuestra ganancia al definir este nuevo conjunto. 

Propiedades de los números enteros

Los números enteros conservan algunas de las propiedades de los números naturales, también cuentan con unas nuevas y carecen de otras.  Veamos:

Relación entre los números enteros y los números naturales

Según como hemos definido las cosas, cada elemento de los números naturales hace parte también del conjunto de los números enteros. 

Recuerda que cuando esto ocurre entre dos conjuntos decimos que uno está contenido en el otro.

En este caso podemos escribir  (los naturales están contenidos en los enteros), es decir,   es un subconjunto de .

Operaciones en el conjunto de los números enteros

Además de poder representar cantidades enteras positivas, los números enteros nos permiten representar cantidades enteras negativas.  Por esta razón cuando sumamos o restamos números enteros el resultado seguirá siendo un número entero.

Piensa qué pasa si sumas dos o más deudas: supongamos que le debes tres dulces a tu amigo Carlos y uno a tu amiga Ana.  Para saber cuántos dulces debes en total hay que sumar las deudas, es decir, sumar números enteros, obteniendo como resultado la deuda total, o sea otro número entero.

Si representamos numéricamente esta situación tendremos que con respecto a Carlos tienes  dulces, y con respecto a Ana tienes  dulce, por lo tanto en total debes  dulces.  Esto quiere decir que  más  es : .

Hay tres operaciones entre números enteros que tienen como resultado números enteros: la suma, la resta y la multiplicación.  Como te puedes dar cuenta esta es una ventaja de los enteros sobre los naturales, en ellos está permitida una operación más, la resta.

¿El primer entero?

Una de las propiedades de  (los naturales), es que existe un primer elemento del conjunto.  ¿Crees que pasa lo mismo en el conjunto  (los números enteros)?  Como  contiene cada elemento de los números naturales y sus negativos, se extiende indefinidamente tanto positiva, como negativamente.  Es decir,  no puede tener un primer elemento.  Los puntos suspensivos en la expresión:  indican que las partes positiva y negativa son infinitas.

El sucesor de un número entero

Como en el caso de los números naturales, cada vez que fijemos un número entero podremos determinar su sucesor, es decir, el número entero siguiente.  Para la parte positiva, los naturales, el sucesor sigue siendo el mismo, el número que representa una unidad más.  Debe pasar lo mismo entonces para la parte negativa.

¿Cuál será el sucesor de ?  Supón que tienes  naranjas, o sea, debes  naranjas.  Si consigues pagar una (sumas una) ¿cuántas deberías ahora?  La respuesta es que ahora deberías solamente  naranjas.  Es decir, hemos encontrado que el sucesor de  es .  Lo mismo pasa con el resto de los números negativos.

Orden de los números enteros

En el conjunto de los números enteros también existe una relación de orden, entenderla te permitirá establecer qué enteros representan más que otros.

Cuando estudiamos el orden en el conjunto de los naturales dijimos que uno es mayor que otro, si representa una mayor cantidad de elementos. Lo mismo aplica para el conjunto de los enteros,  cuando comparamos dos enteros se debe determinar cuál de ellos representa tener más.

Por ejemplo, ¿cuál número es mayor:  o ?  El número  puede ser interpretado como deber cinco unidades, mientras el  como tener tres, ¿cuándo se tiene más?  Como el  representa tener más, decimos que tres es mayor que menos cinco: .

Otro ejemplo: ¿quién es mayor,  o ?  Para responder esta pregunta razonamos como antes: ¿en qué caso tienes más?  Al representar deber sólo dos unidades, el  es mayor que , que representa deber nueve, por lo tanto: .